Отрицание в логике

Отрицание – самая сложная операция (связка) в логике. Это обусловлено тем, что с отрицанием связано много стереотипов мышления, которые несколько отличаются от понятия строгого логического отрицания. И нужно уметь различать эти тонкости, чтобы не делать ошибок, связанных с неправильным выполнением этой операции.

Сначала рассмотрим отрицание с формальной точки зрения. Пусть имеется свойство А (и соответствующее ему множество). Тогда отрицанием этого, т.е. свойством «не А» (будем обозначать «~А») будет множество всех объектов, не входящих в А. Изобразим это на диаграмме Эйлера. «~А» обозначает всю внешность эллипса «А».

Но если рассмотреть подробнее, то всплывет масса нюансов. Рассмотрим вновь пример из предыдущей главы со свойством «красный».

Мы видим, что свойство «не красный» (~К) – внешность эллипса К состоит из двух принципиально разных областей: объектов имеющих цвет, но не красный, и объектов, не имеющих атрибута цвет. И очень часто неопытные в логике люди про вторую область забывают, что может вести к последующим ошибкам в рассуждениях.

Рассмотрим еще один пример множества объектов, имеющих атрибут «температура» (будем считать, что это температура по Цельсию). Пусть множество А – объекты с положительной температурой. Чем будет множество «не А»? Кажется, это множество объектов с отрицательной температурой. Но это не так. Важно осознавать, что даже среди объектов имеющих температуру, есть три альтернативы: положительная температура, отрицательная и нулевая. Многие неопытные люди забывают про нулевую температуру. Таким образом, высказывание «неверно, что температура положительная» эквивалентно высказыванию «температура нулевая или отрицательная», а не «температура отрицательная». А еще не надо забывать про то множество объектов, для которых атрибут «температура» вообще не определен. На диаграмме Эйлера это можно изобразить следующим образом. Эллипс Т символизирует все объекты, имеющие атрибут «температура». Знаками «+», «0», «-» и «~Т» обозначены, соответственно, области: положительной температуры, нулевой, отрицательной и область отсутствия атрибута «температура».

И здесь отрицанием множества (свойства) «+» будет множество не «-», а объединение множеств «0», «-» и «~Т».

Эта ситуация еще тем коварна, что в языке многие свойства с отрицанием стали идиомами, означающими противоположное качество, без нейтрального. Например, «невысокий» означает человека низкого роста, не включая средний рост. «Не верю» часто означает «верю, что это не так» (не включая «сомневаюсь»). «Небедный», фактически, означает «богатый» (без «умеренного достатка») и т.д.